2016年3月28日 星期一

德國一流大學教你數學家的22個思考工具【思考法】

22個數學思考工具:

  1. 類比原則
  我們能將這個問題回推到另一個已知答案的類似問題嗎?
 
  2. 富比尼原理
  我們可否算出某些東西的數目,但卻是用完全不同的方法去算出來?
 
  3. 奇偶原理
  我們可以從問題是否可能具體區分成兩個互不重疊的類別,來得知問題有沒有解嗎?
 
  4. 狄利克雷原理
  如果 n+1 個物件要任意存放在 n 個格子內,至少會有 1 個格子放了2 個物件。
 
  5. 排容原理
  我們能不能從比較容易計數的子集合,來算出某個集合中的元素個數?
 
  6. 相反原則
  我們可不可以先假設某個斷言的反面是對的,然後透過無懈可擊的邏輯推導,得出與所假設事實矛盾的結論,以此來證明原本的斷言是對的?
 
  7. 歸納原則
  為了證明一堆有序物件當中的全部東西皆具有某種性質,可以先證明第一個東西有此項性質,然後再證明,若其中任意一個東西具有該性質,則下一個東西也有此性質。
 
  8. 一般化原則
  解決一般問題時,可不可以先刪去一些條件或是改變一些約束條件,然後再把求得的解運用在眼前的特殊情形?
 
  9. 特殊化原則
  解題時可以先看特殊情況,然後從特殊情況的結果推廣到一般情況的求解嗎?
 
  10. 變化原則
  我們是不是可以透過控制改變問題的某些層面,從新的角度來觀察,對原本的問題有更深入的理解,進而解開問題?
 
  11. 不變性原理
  系統裡有沒有一些性質,是在系統本身允許改變時也保持不變的,而從這些性質可以推導出系統可能的發展結果嗎?
 
  12. 單向變化原則
  在系統經歷了可允許的改變下,系統中有沒有一些性質只會以一種特定方式改變,且從這些變化可以推斷出系統可能的發展?
 
  13. 無窮遞減法則
  我們可不可以先替某件事給個例子,然後假設從這個例子一定可以推到越來越小例子,但實際上不可能永無止境地越推越小,因而證明這件事不可能發生?
 
  14. 對稱原理
  在給定系統裡有沒有某些對稱性質,可以讓我們從中取得資訊?
 
  15. 極值原理
  我們能不能從給定問題的極端情形,研究出所有情形的相關資訊?
 
  16. 遞迴原理
  解題時可以將問題一步一步推到更簡單的版本嗎?
 
  17. 步步逼近原則
  解題時,可以先找出一個近似解,然後在後續步驟中持續改進嗎?
 
  18. 著色原理
  我們可以透過使用顏色,在問題的結構中建構出模式,然後從中汲取解題的資訊嗎?
 
  19. 隨機化原則
  我們可以在問題裡引進一個隨機的機制,使問題簡化嗎?
 
  20. 轉換觀點原則
  解題時可以從目標往起點反向進行,然後再翻轉思考方向嗎?
 
  21. 模組化原則
  解題時可以將問題分解成許多子問題,解決之後再將這些部分解合併成完整的解?
 
  22. 蠻力原則
  我可以透過試遍所有可能的解法來解題嗎?

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